eduNET
Matematyka gimnazjum klasa 1, 2, 3 - symulacje

Podział odcinka

Jeżeli proste równoległe na jednej z dwóch prostych wycinają odcinki równej długości, to również na drugiej prostej wycinają one odcinki równej długości.
Tę własność prostych równoległych wykorzystuje się przy podziale odcinka na równe części.
Podzielmy dany odcinek na 5 równych części. Z jednego końca odcinka rysujemy półprostą, tworzącą z danym odcinkiem dowolny kąt. Na półprostej zaznaczamy pięć dowolnych, lecz równej długości odcinków. Ostatni zaznaczony punkt na półprostej łączymy z drugim końcem danego odcinka.
Następnie przez zaznaczone na półprostej punkty kreślimy proste równoległe do narysowanej prostej. W ten sposób na odcinku otrzymamy odpowiednie punkty dzielące go na 5 równych części.

Uruchom symulację i obejrzyj inne podziały odcinka.

Jednokładność

W figurach podobnych i jednokładnych odpowiednie kąty są równe oraz stosunek odpowiednich odcinków jest stały. Poza tym w figurach jednokładnych odpowiednie odcinki są równoległe. Jednokładność o skali dodatniej nazywamy jednokładnością prostą, a jednokładność o skali ujemnej – jednokładnością ujemną.
Uruchom symulację i obejrzyj jak powstają figury jednokładne do danych.

Wysokość trójkąta

Ze względu na rozwartość kątów trójkąty dzielimy na:
  • ostrokątne
  • prostokątne
  • rozwartokątne
Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta i rzut prostokątny tego wierzchołka na prostą zawierającą przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma 3 wysokości. Punkt przecięcia wysokości w trójkącie może leżeć:
  • wewnątrz trójkąta, gdy jest on ostrokątny
  • na zewnątrz trójkąta, gdy jest on rozwartokątny
Uruchom symulację i sprawdź sam jakie jest położenie wysokości w zależności od rodzaju trójkąta.

Figury podobne

Cechy podobieństwa trójkątów:
  • Jeżeli dwa trójkąty maja po dwa odpowiednie kąty równe, to te trójkąty są podobne.
  • Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich dwóch boków drugiego trójkąta, a zawarte między tymi bokami kąty są równe, to te trójkąty są podobne.
  • Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich trzech boków drugiego trójkąta, to te trójkąty są podobne.
Dwa wielokąty są podobne, jeśli mają odpowiednie kąty równe oraz ich odpowiednie boki są proporcjonalne.

Uruchom symulacje i spójrz na dwie figury zastanawiając się czy są one podobne. Następnie sprawdź, obracając, zmieniając rozmiar i przesuwając drugą figurę czy miałeś rację.

Memo

Zbiór wszystkich ułamków zwykłych tworzy zbiór liczb wymiernych. Ułamki skracamy dzieląc licznik i mianownik ułamka przez daną liczbę (różną od zera). Natomiast rozszerzamy ułamki mnożąc licznik i mianownik ułamka przez daną liczbę (różną od zera).
Uruchom grę i sprawdzić swoja sprawność skracania i rozszerzania ułamków.

Proste i odcinki równoległe

Proste równoległe to proste, które nie maja punktu wspólnego (nie przecinają się).
Konstrukcja prostych równoległych:
Dana jest prosta, do której należy narysować prostą równoległą (lub odcinek równoległy). Ustawiamy ekierkę wzdłuż danej prostej. Następnie do któregoś z pozostałych boków ekierki przykładamy linijkę. Teraz możemy przesuwać ekierkę, opartą na linijce, w górę i w dół i dzięki temu możemy narysować prostą równoległą do danej prostej.
Uruchom symulacje i spróbuj narysować prostą równoległą lub odcinek równoległy do danej prostej.

Procenty

Procent to łacińska nazwa setnej części lub prościej: ułamek o mianowniku 100. Jeden procent (1%) pewnej liczby a (lub innej wielkości), to setna część tej liczby (wielkości), co oznaczamy: 1%a. Jeżeli liczba b stanowi p% liczby a, to b/a = p/100.
I tak na przykład jeżeli mamy prostokąt podzielony na 100 małych, równych kwadracików, to 23% prostokąta stanowić będą dowolne 23 małe kwadraciki.
Uruchom symulacje i spróbuj wskazywać szukany procent wybranej figury.

Twierdzenie Pitagorasa

Trójkąty prostokątne maja wiele ciekawych własności. Mówi o tym m.in. poniższe twierdzenie, którego autorem jest Pitagoras. Filozof ten wspólnie ze swymi uczniami badał własności liczb naturalnych i szukał związków liczbowych w figurach geometrycznych. Znakiem rozpoznawczym pitagorejczyków była pięcioramienna gwiazda, zwana pentagramem lub gwiazdą pitagorejską.
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.
Spójrz w jaki sposób można prosto uzasadnić to twierdzenie.

Twierdzenie Talesa

Tales z Miletu (ok. 620 - ok. 540 p.n.e.), filozof, matematyk i astronom grecki, jeden z twórców tzw. szkoły jońskiej. Rozpoczął systematyzowanie wiedzy geometrycznej. Przypisuje mu się wiele twierdzeń (m.in. twierdzenie Talesa, dzięki któremu miał wyznaczyć wysokość piramidy). Uchodzi za ojca matematyki.
Twierdzenie Talesa:
Dwie proste równoległe przecinające ramiona kąta odcinają na tych ramionach odcinki proporcjonalne do siebie (prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne). Korzystając z twierdzenia Talesa można znaleźć jeszcze inne zależności prostych równoległych przecinających ramiona kąta.
Uruchom symulacje i przekonaj się, że stosunki odpowiednich odcinków są sobie równe.

Siatki graniastosłupów prostych

Graniastosłupem nazywamy wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami, których wszystkie wierzchołki są jednocześnie wierzchołkami podstaw.
Graniastosłup prosty to graniastosłup, w którym krawędzie boczne prostopadłe są do podstaw. Mając daną siatkę graniastosłupa możemy ‘złożyć’ bryłę. Uruchom symulację, obejrzyj przedstawione siatki i zastanów się czy można z nich ‘złożyć’ graniastosłup, a następnie sprawdź to.